综合测试(满分100分)3

综合测试（满分100分）3

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来源：《数学金刊·高考版》2015年第03期

一、选择题：每小题5分，共25分.

1. 已知平面α，β和直线m ，给出下列条件：①m∥α；②m⊥α；③m？奂α；④α⊥β；⑤α∥β. 为使m⊥β，应选择下面四个选项中的（ ） A. ③⑤ B. ①⑤ C. ①④ D. ②⑤

2. 如图29，三棱锥V-ABC中，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°. 若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（ ） A. 4∶ B. 4∶ C. ∶ D. ∶ 图29 图30

3. 如图30，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. MN∥AB

B. MN与BC所成的角为45° C. OC⊥平面VAC D. 平面VAC⊥平面VBC

4. 若正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，它的高h为（ ） A. B. C. D. 2

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5. 如图31，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（ ） 图31 A. t ≤t≤2 B. t ≤t≤2 C. t2≤t≤2 D. t2≤t≤2

二、填空题：每小题5分，共15分.

6. 如图32，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________. 图32

7. 给出下面五个命题：

①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

③已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；

④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；

⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行.

其中正确的命题是__________（只填序号）.

8. 如图33，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点. 现将△AFD沿AF折起，使平面ADF⊥平面ABC. 在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足. 设AK=t，则t的取值范围是__________. 图33

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三、解答题：每小题15分，共60分.

9. 如图34，四边形ABCD和四边形ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1. （1）证明：DA⊥EF；

（2）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值. 图34

10. 如图35，边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，E为线段CD上的中点，以BE为折痕，将△BCE折起，使得二面角C′-BE-C成θ角.

（1）当θ在（0，π）内变化时，直线AD与平面BC′E是否会平行？请说明理由； （2）若θ=90°，求直线C′A与平面BC′E所成角的正弦值. 图35

11. 如图36，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC. 图36

（1）求证：平面MOE∥平面PAC； （2）求证：平面PAC⊥平面PCB；

（3）设二面角M-BP-C的大小为θ，求cosθ的值.

12. 如图37，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k>0）. （1）求证：CD⊥平面ADD1A1；

（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 ，求k的值；

（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案. 问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式. （直接写出答案，不必要说明理由）

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