1、平方根
（1）定义：一般地,假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
正的平方根用a来表示，（读做“根号a”）
对于正数a
负的平方根用 “a ”表示（读做“负根号a” ）
假如x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。 （2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ②0只有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根.
（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 （5）a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。 （6）公式：⑴(a)2=a（a≥0）；
2、立方根
（1）定义：一般地，假如一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
3即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号“a”表示，读作“三次根号
a”。
（2）立方根的性质：
正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数一样。 二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 例2、求下列各数的平方根： 116(1) 9 (2) 4 (3) 0.36 (4) 9 例3、设 A. C.
，则下列结论正确的是（ ） B. D.
，所以选B
解析：（估算）因为
举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27
立方根是__________. 3）___________. 【答案】1）
；
___________， ___________，
.2）-3. 3）， ，
【变式2】求下列各式中的 （1）
（2）
（3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
例4、推断下列说法是否正确 （1）
的算术平方根是-3； （2）
的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）故
表示225的算术平方根，即的平方根是
.
=15.事实上，本题是求15的平方根，
（3）留意到，当x=0时， =，明显此式无意义，发生错误
=0.
的缘由是无视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x例5、求下例各式的值： （1） 3 27 （2）3 27 （3） 3 10 （4） 3-64-64 26427
三、实数学问复习。 1、实数的分类
无理数：无限不循环的小数称为无理数。 2、肯定值
(1)一个正数的肯定值是它本身，
aa0一个负数的肯定值是它的相反数， a0a0零的肯定值是零。 aa0(2)一个数的肯定值表示这个数的点分开原点的间隔 。
（3）留意：
aa0 2aa0a0
aa0 例6、当a<0时，化简
A 0 B -1 C 1 D ½
例7、化简下列各式： (1) | (3) |
-1.4| (2) |π-3.142| -|
的结果是( )
分析：要正确去掉肯定值符号，就要弄清肯定值符号内的数是正数、负数还是零，然后依据肯定值的定义正确去掉肯定值。
解：(1) ∵ ∴|
=1.414…＜1.4 -1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3) ∵
＜
, ∴|
-|=
-
【变式1】化简： 3、有关实数的非负性
2a0(a0) a 0 a0留意：(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 例8、已知(x-6)2+ 解：∵(x-6)2+ 且(x-6)2≥0,
+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。 +|y+2z|=0
≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知
4、实数比拟大小的方法
1、识登记列各式的值，结果保存4个有效数字：
2≈___________ 7≈___________
那么a+b-c的值为___________
3≈___________ 5≈___________ 6≈___________
2、方法一：差值比拟法
差值比拟法的根本思路是设a，b为随意两个实数，先求出a与b的差，再依据当a-b﹥0时，得到a﹥b。当a-b﹤0时，得到a﹤b。当a-b＝0，得到a=b。 3、方法二：商值比拟法
商值比拟法的根本思路是设a，b为随意两个正实数，先求出a与b得商。aaa当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比拟a与b的大小。 bbb4、方法三：平方法
平方法的根本是思路是先将要比拟的两个数分别平方，再依据a＞0，b＞0时，可由a2＞b2得到a＞b来比拟大小，这种方法常用于比拟无理数的大小。 5、方法四：估算法
估算法的根本是思路是设a，b为随意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某局部的取值范围，再进展比拟。 选择适当的方法比拟下列数的大小。 （1）比拟1-2与1-3的大小。 （2）比拟
13381与的大小。 81（3）比拟27与33的大小 （4）当0x1时，x2，x，的大小依次是
x______________。
（1）解 ∵（1-2）-（1-3）=32＞0 ， ∴1-2＞1-3。 （2）解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴
1331＜ 88（3）解：∵27=22•7=28，33=32•3=27。
又∵28＞27， ∴27＞33。
111（4）解：取x=，则：x2=，=2。
24x111 ∵＜＜2，∴x2＜x＜。
42x
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