专题训练一 等腰三角形的存在性问题
课前热身
已知线段AB＝5厘米，如果△ABC是等腰三角形，那么点C有多少个？点C的轨迹是什么？
针对训练
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上
的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．
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例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．
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例3 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC，
以DE为边在DE的下方作正方形DEFG．设AD＝x，当x为何值时，△BDG是等腰三角形？
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例4 如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是
BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值．
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例5 2015年上海交大昂立教育集团中考模拟第25题
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D．
（1）设⊙P的半径为x，PC的长为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）以C为圆心，AC为半径的圆与⊙P外切，求⊙P的半径；
（3）在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角形，求⊙P的半径．
专题直击
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D．在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角形，求⊙P的半径．
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例6 2014年上海市中考第25题
4，点P是边BC上的5动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝
图1 备用图
专题直击
4，点P是边BC上的动5点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝
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例7 2015年上海市金山区中考模拟第25题
如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝（1）求BC的长；
（2）点D、E分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．
①求y与x的函数关系式，并写出定义域；
②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．
4． 3专题直击
如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝
4．点D、E分别是AB、AC的中点，3不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．
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例8 2015年上海市崇明县中考模拟第25题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，tan B＝
4，点P是线段AB上的一个动3点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．
（1）当点E在BC的延长线上时，设PA＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；
（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．
专题直击
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，tan B＝
4，点P是线段AB上的一个动3点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．
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例9 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题
在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．
（1）如图1，已知OA＝5，AB＝6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE的长；
（2）已知OA＝5，AB＝6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且 △OCD是等腰三角形，求AF的长；
（3）如果OD//AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．
图1 图2
专题直击
如图，在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．已知OA＝5，AB＝6，如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且△OCD是等腰三角形，求AF的长．
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例10 2015年上海市黄浦区中考一模第25题
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O．点E在AB的延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与C、E重合）．
（1）当点F是线段CE的中点时，求GF的长； （2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
专题直击
如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O．点E在AB的延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与C、E重合）．设BE＝x，当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
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例11 2014年上海市崇明县中考模拟第25题
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，∠C＝30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，联结EF，设AE＝x，EF＝y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的值；
（3）如图2，联结BD，将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．
图1 图2
专题直击
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，∠C＝30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D作DE⊥AB于点E，联结BD．将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．
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例12 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5．点P从点B出发，以每秒
1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．
（1）当t＝____秒时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
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