矩阵论复习题

1. 设VR是正实数集,对于任意的x,yV,定义x与y的和为 xyxy

对于任意的数kR,定义k与x的数乘为

kxxk

问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的x,yR2,x(x1,x2),y(y1,y2)定义x与y的和为

xy(x1y1,x2y2x1y1)

对于任意的数kR,定义k与x的数乘为

kx(kx1,kx2k(k1)2x1) 2问:对于上述定义加法和数乘运算的集合R2,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设S{(x1,x2,x3)|2x1x22x30,xiR}，试证明S是R3的子空间，并求S的一组基和dimS.

4.设Pn(R)表示次数不超过n的全体多项式构成的线性空间,

S{f(x)|f(0)0,f(x)Pn(R)}

证明S是Pn(R)的子空间,并写出S的一组基和计算dimS. 5.设T是R2上的线性变换,对于基向量i和j有

T(i)ij T(j)2ij

1)确定T在基{i,j}下的矩阵;

2)若e1ij e23ij,确定T在基{e1,e2}下的矩阵. 6.设T是R3上的线性变换,对于基{i,j,k}有

T(ijk)jk T(jk)i T(k)2i3j5k

1)确定T在基{i,j,k}下的矩阵; 2)求T的零空间和像空间的维数. 7.在线性空间P3(R)中

f1(x)axx2x3 f2(x)1axx2x3 f3(x)1x2x2x3

讨论f1(x),f2(x),f3(x)的线性相关性.

21012113AAA8.在R22中求由基(I) A1 234到基

0122121212111112BBB(II) B1 23的过渡矩阵. 4101101119.已知 1(1,2,1,0) 2(2,1,0,1) 1(1,1,1,1) 2(1,1,3,7) 设VL(1,2)L(1,2), 求线性空间V的维数和基. 10.在P2(R)中, 对任意的f(x),g(x)P2(R)定义内积为

(f(x),g(x))f(x)g(x)dx

01若取P2(R)的一组基{1,x,x2},试用GramSchmidt正交化方法,求P2(R)的一组标准正交基.

11. 在P2[x]中，内积定义为：f,gf(x)g(x)dx,f,gP2[x].

01（1）如果fxx2x1 ，计算f6；

（2）证明：任一线性多项式gxabx，都正交于fxx2x12.设A是Cnn上的n阶方阵,x是Cn上的n维列向量,证明：

||Ax||2||A||F||x||2.

1. 613.设ACnn,并且满足AHAE,计算||A||2和||A||F.

10114.设A202，求A的秩分解.

011122115.已知A1201，求A的最大秩分解。

24221i0016.求矩阵A的奇异值分解.

0i217.设ACmn，1）证明：rank(AHA)rank(A);

2) 证明：AHA是半正定矩阵或正定矩阵。 18.求下列矩阵的谱阵和谱分解

400332A031 A112

01331019.设1,2,,s是n阶单纯矩阵A的重数为r1,r2,,rs的特征值,rin

i1sEi是A的对应于i的谱阵,证明

1)EiEj0 (ij, i,j1,2,,s) 2)EiE

i1scostsintddd20.设函数矩阵A,求,和A(t)(detA(t))det(A(t)). sintcostdtdtdt21.证明 1)

dd(A1(t))A1(t)A(t)A1(t) dtdtd2)eAtAeAteAtA dt216522.已知A7i8, x4, 求||x||1,||x||,||Ax||1,||Ax||,||A||1,||A||

437823.设||||a是Cnn的一种矩阵范数,B和D是n阶可逆矩阵,且||B1||a1,

||D1||a1,证明对任意的ACnn，||A||b||BAD||a也是Cnn的一种矩阵范数.

24. 已知||||a是Cnn上的矩阵范数，y0是Cn中的某非零列向量，xCn设

H||x||||xy0||a证明它是Cn上的向量范数，并且与矩阵范数||||a相容。

25.设ACnn, B和D是酉矩阵, 证明:||A||F||BA||F||AD||F||BAD||F 26.设ACnn，k为正整数，证明：AkkA. 27.设ACnn，且是Hermite 矩阵，证明：A2A.

0acosasinaAB28.已知A, 其中且,证明:eB. aRa0a0sinacosa3i29.已知Ai3,1)证明A是Hermite矩阵;2)求方阵函数cosA.

1130.已知A00001102，

0130021)求A的Jordan标准形J; 2)求可逆矩阵P,使P1APJ.

11131.已知A111，求A503A30.

01221032.求矩阵A420的最小多项式.

210111k33.已知A111，判断矩阵级数kAk是否收敛.

k030121034.已知A00000310,求sinA和sin(At).

03100335.设A为n阶方阵,求证det(eA)etr(A)特别地当A为反对称矩阵时有det(eA)1

60436.设A350,求方阵函数eA和cosAt.

36137.证明:线性方程组Axb(其中ACmn bCm)有解的充分必要条件是

AAbb. 1038.已知(1)A12011i1iA,(2),求的广义逆矩阵. AAi100011039.设ABC是A的最大秩分解,证明:ACB 40.求微分方程组

dx13x1x2x3 dtdx2x15x2x3 dtdx3x1x23x3 dt的通解及满足初始条件x1(0)1x2(0)1x3(0)0的特解.