第1节角与弧度制、三角函数的概念

§第1节 角与弧度制、三角函数的概念

考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

知 识 梳 理

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.(2)分类

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ .

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式

角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的 、 和 .

π

0，，则tan α>α>sin α. [微点提醒]1.若α∈22.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3.象限角的集合4.轴线角的集合

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基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )

(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )

(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )

4

2.(必修4P17A1改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为( )

51A.－

2

1B. 2

C.－

3 2

D.3 2

3.(必修4P7A6改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. tan θ4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是( )

sin θ

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________. 6.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.

考点一 角的概念及其集合表示

α

【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是( )

2A.第一象限角

B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角

(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.

规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.

2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.

kk180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝·180°＋45°，k∈Z，那么( ) 【训练1】 (1)设集合M＝x|x＝2·4









A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅

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(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示

为________.

考点二 弧度制及其应用

典例迁移

π

【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积.

3

【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.

【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

规律方法 1.应用弧度制解决问题的方法：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. 2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.

【训练2】 (一题多解)(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》1

章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围

22π

成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径等3于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )

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A.6平方米

考点三 三角函数的概念

B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米

ππ

sin ，cos ，则sin(π＋α)＝( ) 【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P33A.－

3

2

1B.－

2

1C. 2

D.3 2

cos α

(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )

tan αA.第一象限角 规律方法

1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.三角函数线的应用问题的求解思路

确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.

B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，34始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为5，543

－，，则cos(α＋β)的值为( ) 和55

24A.－

25

7B.－

25

C.0

24D. 25

1

(2)满足cos α≤－的角α的集合为________.

2[思维升华]

1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值. 2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.

[易错防范]1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.

2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.

3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

§第1节 角与弧度制、三角函数的概念限时训练

基础巩固题组

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(建议用时：35分钟)

一、选择题

1.给出下列四个命题：

3π4π

①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.

43其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

9π

2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )

4A.2kπ＋45°(k∈Z)

95π

B.k·360°＋π(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)

44

3

7π

3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m，m)，若α＝，则m的值为( )

3A.27

1B. 27

C.9

1D. 9

4.已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为( )

A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ) D.(2cos θ，－2sin θ) θθθ

cos ＝－cos ，则是( ) 5.设θ是第三象限角，且222

A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角

6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( ) 4A.－

5

3B.－

5

3C. 5

4D. 5

3

π－α＝( ) 7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A(2，1)，则sin225A.－

5

B.－

5 5

C.5 5

25D.

5

2π2π

sin ，cos ，则角α的最小正值为( ) 8.已知角α的终边上一点P的坐标为335π

A. 6二、填空题

3

9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于________.

5ππ

10.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.

63

1

11.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________.

512.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________.

能力提升题组

(建议用时：15分钟)

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2πB. 35πC. 311πD. 6

13.给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，2

B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )

31A. 5

B.5 5

25C.

5

D.1

15.函数y＝2sin x－1的定义域为________. 16.已知sin α<0，tan α>0. (1)求角α的集合； α

(2)求的终边所在的象限；

2ααα

(3)试判断tan sin cos 的符号.

222

新高考创新预测

17.(多填题)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝________(其中t∈[0，60])；d的最大值为________cm.

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